Programme Maths Expertes : notre guide complet

Le programme maths expertes se démarque dans le domaine de l'éducation comme un parcours académique de choix pour les étudiants passionnés par les mathématiques avancées. Conçu pour renforcer la compréhension et la maîtrise des concepts mathématiques complexes, le programme maths expertes est essentiel pour préparer les lycéens à des études supérieures rigoureuses, notamment dans les domaines scientifiques, de l'ingénierie et des mathématiques.

L’option maths expertes est spécialement recommandée pour les élèves aspirant à intégrer des classes préparatoires, qu'elles soient scientifiques ou commerciales, offrant ainsi une fondation solide et avancée en mathématiques. En particulier pour les élèves qui souhaitent se diriger vers une MPSI, une PCSI, une MP2I ou une PTSI, il est essentiel de suivre l'option maths experts en terminale. En effet, les jury de sélection sur Parcoursup en prépa sélectionnent majoritairement les élèves ayant suivi cette option et beaucoup de professeurs de prépa considèrent comme acquis que le programme vu en terminale dans l'option maths expertes.

Cet article offre une exploration approfondie du programme maths expertes, en mettant en lumière son contenu, ses objectifs et des épreuves dans le cadre du baccalauréat.

Notre article permet de visualiser l'essentiel du programme de maths expertes et des notions clés à maîtriser. Mais pour découvrir le programme complet, vous pouvez télécharger le programme officiel de l'éducation nationale ci-dessous :

I- Programme maths expertes : analyse des modules clés du programme

Le programme de l'option Maths expertes se caractérise par son approfondissement dans trois domaines clés : les nombres complexes, l'arithmétique ainsi que les graphes et les matrices. Nous allons examiner de plus près comment ces thèmes sont abordés dans le programme en illustrant avec des exemples de sujets et des problèmes types.

Cette analyse détaillée permettra aux élèves et aux enseignants de mieux comprendre la portée et la profondeur du programme de maths expertes, et comment il prépare les étudiants à exceller dans des domaines mathématiques avancés. Notre analyse est complète et détaillée dans les tableaux suivants. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter le programme officiel de l'éducation nationale.

           a) L'étude des nombres complexes dans le programme de maths expertes

L’étude des nombres complexes revêt une importance fondamentale en tant que concept mathématique. On les retrouve donc à travers des applications variées dans des domaines tels que la physique et l’économie. Dans le cadre de l’option Maths Expertes, les nombres complexes sont abordés sous différents aspects.

  • Le point de vue algébrique permet aux élèves de comprendre leur structure (partie réelle, partie imaginaire). Il permet également de se familiariser avec l’ensemble de leurs propriétés (opérations, conjugué, inverse, etc.)
  • Le point de vue géométrique introduit le plan complexe (image, module, argument) et la forme trigonométrique. Les élèves pevent donc utiliser la notation exponentielle, la formule d’Euler et de Moivre.
  • Les équations polynomiales à coefficients réels peuvent désormais être résolues librement grâce aux solutions complexes de ces équations (degré 2 ou 3).
  • Enfin, le programme permet d’utiliser les nombres complexes dans le cadre de la résolution de problèmes de géométrie. Les élèves peuvent ainsi démontrer des alignements, des orthogonalités, calculer des longueurs, des angles, etc.

Voici plus en détails les notions abordées dans chaque partie du programme de maths expertes sur les nombres complexes :

Etude des nombres complexes: détails du programme 


Parties du programme maths expertes  Notions abordées 
Point de vue algébrique  - Ensemble ℂ des nombres complexes.
- Partie réelle et partie imaginaire.
- Opérations.
- Conjugaison. Propriétés algébriques.
- Inverse d’un nombre complexe non nul. 
- Formule du binôme dans ℂ
- Démonstrations du conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance entière.
- Démonstration de la Formule du binôme.
Point de vue géométrique
- Image d’un nombre complexe. Image du conjugué. Affixe d’un point, d’un vecteur.
- Module d’un nombre complexe. Interprétation géométrique.
- Relation module de z au carré. Module d’un produit, d’un inverse. 
- Ensemble 𝕌 des nombres complexes de module 1. Stabilité de 𝕌 par produit et passage à l’inverse.
- Arguments d’un nombre complexe non nul. Interprétation géométrique.
- Forme trigonométrique.
Nombres complexes et trigonométrie 
- Formules d’addition et de duplication à partir du produit scalaire
- Exponentielle imaginaire, notation
- Relation fonctionnelle. Forme exponentielle d’un nombre complexe.
- Formules d'Euler et Formule de Moivre 
Equations polynomiales 
- Solutions complexes d’une équation du second degré à coefficients réels.
- Factorisation de z puissance n moins a par z - a.
- Si P est un polynôme et P(a) = 0, factorisation de P par z - a.
- Un polynôme de degré n admet au plus n racines. 
Utilisation des nombres complexes en géométrie 
- Interprétation géométrique du module et d’un argument
- Racines n-ièmes de l’unité. Description de l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité. Représentation géométrique. Cas particuliers : n = 2, 3, 4

         

           b) L’arithmétique dans le programme maths expertes

Le programme aborde l’arithmétique à travers des notions telles que la divisibilité dans Z, la division euclidienne, les congruences, la notion de Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) et les nombres premiers. Les élèves apprennent à manipuler ces objets mathématiques ainsi que des théorèmes fondamentaux comme les théorèmes de Bézout, de Gauss et de Fermat. Ces éléments importants de cette discipline posent ainsi des bases solides pour le supérieur et permettent aux élèves de se confronter à des raisonnements nouveaux.

L’étude de l’arithmétique permet également aux élèves de se familiariser avec des raisonnements logiques de type analyse-synthèse, récurrence, disjonction de cas et raisonnement par l'absurde. Ces raisonnements sont extrêmement importants et seront très utiles pour ceux qui souhaitent continuer les mathématiques en prépa ou dans d’autres cursus.

Voici en détails les notions abordées dans la partie Arithmétique du programme de maths expertes :

Arithmétique : détails du programme 


Parties du programme maths expertes  Notions abordées 
Contenu du cours  - Divisibilité dans ℤ.
- Division euclidienne d'un élément de ℤ par un élément de ℕ*.
- Congruences dans ℤ. Compatibilité des congruences avec les opérations.
- PGCD de deux entiers. Algorithme d’Euclide.
- Couples d’entiers premiers entre eux.
- Théorème de Bézout.
- Théorème de Gauss.
- Nombres premiers. Leur ensemble est infini.
- Existence et unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
- Petit théorème de Fermat. 
Démonstrations 
- Écriture du PGCD de a et b sous la forme ax + by, (x,y) ∈ ℤ 
- Théorème de Gauss.
- L’ensemble des nombres premiers est infini. 
Algorithmes à aborder 
- Algorithme d’Euclide de calcul du PGCD de deux nombres et calcul d’un couple de Bézout.
- Crible d’Ératosthène.
- Décomposition en facteurs premiers.

          c) L’étude des matrices et graphes dans le programme maths expertes

Le programme étudie les matrices sous différents angles : modélisation de problèmes issus d’autres disciplines, systèmes linéaires et transformations géométriques. Il s’agit de mettre en valeur l’efficacité du calcul matriciel pour représenter et résoudre des problèmes.

La notion de graphe est fondamentale pour les mathématiques discrètes et possède des applications dans de nombreux domaines. Le programme fait ensuite interagir cette notion avec les matrices.

Le programme développe de manière spécifique les chaînes de Markov afin d’illustrer cette interaction graphe/matrice.

Matrices et graphes : détails du programme 


Parties du programme maths expertes  Notions abordées 
Graphes  - Graphe, sommets, arêtes. Exemple du graphe complet. 
- Sommets adjacents, degré, ordre d’un graphe, chaîne, longueur d’une chaîne, graphe connexe.
Matrices
- Notion de matrice (tableau de nombres réels). Matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne. Opérations. Inverse, puissances d’une matrice carrée.
- Exemples de représentations matricielles : matrice d’adjacence d’un graphe ; transformations géométriques du plan ; systèmes linéaires ; suites récurrentes.
- Exemples de calcul de puissances de matrices carrées d’ordre 2 ou 3.
- Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant une relation de récurrence du type Un+1 = AUn + C. 
Graphes et Chaînes de Markov 
- Graphe orienté pondéré associé à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
- Chaîne de Markov à deux ou trois états. Distribution initiale, représentée par une matrice ligne π0. Matrice de transition, graphe pondéré associé. 
- Pour une chaîne de Markov à deux ou trois états de matrice P, interprétation du coefficient (i,j), Distribution après n transitions
- Distributions invariantes d’une chaîne de Markov à deux ou trois états.
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II- Modalités de l’option maths expertes : volume horaire, évaluations, baccalauréat

L'option maths expertes en Terminale, réservée uniquement aux élèves ayant suivi la spécialité Maths dès la Première, est un choix stratégique pour ceux qui visent des études scientifiques avancées. Ce programme exige un engagement significatif, avec un volume horaire de 3 heures supplémentaires chaque semaine, s'ajoutant aux 6 heures de la spécialité mathématique, pour un total de 9 heures de maths par semaine.

En termes d'évaluation, l'option "maths expertes" se caractérise par une évaluation continue plutôt qu'une épreuve spécifique lors du baccalauréat. Les performances des élèves sont mesurées tout au long de l'année, et ces notes contribuent au contrôle continu, qui représente 40% de la note finale du baccalauréat.

Bien que "maths expertes" n'ait pas d'épreuve finale propre, la maîtrise des concepts et des raisonnements étudiés peut être cruciale pour améliorer les résultats dans l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat. Ainsi, suivre l'option maths expertes peut offrir aux élèves un avantage significatif, en leur permettant de développer une compréhension plus approfondie et une perspective plus large en mathématiques.

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III- Programme maths expertes en terminale : les objectifs du programme en 2024

Dans la continuité du programme de spécialité maths en terminale, les objectifs du programme sont les suivant :

  • Chercher, expérimenter, en particulier à l’aide d’outils logiciels. Cette compétence sera notamment développée à travers la compréhension et la réalisation de scripts python. L'objectif est de conjecturer à l'aide d'outils numériques comme python puis de démontrer à l'aide des connaissances mathématiques des élèves.

  • Représenter, choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique …), changer de registre. Cette compétence est notamment développée dans le chapitre de maths expertes sur les complexes. Il sera très important à la fin de l'année d'avoir une vue d'ensemble sur le chapitre et d'être capable de passer d'un type de réprésentation complexe à un autre. L'objectif est que les élèves puissent identifier la forme complexe la plus judicieuse pour résoudre un problème donné.

  • Raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective. La démonstration est fondamentale en mathématiques et est largement appuyée dans le programme de l'option maths expertes. De nombreuses démonstrations sont rendues obligatoires dans le programme et font partie des notions de cours à maîtriser. Le chapitre sur les complexes comptent plus de 15 démonstrations au programme. Cela passe par des démonstration très calculatoires comme la démonstration sur les conjugués à des démonstrations plus théoriques et importantes dans le supérieur comme celle de la formule du binôme ou des racines n-ième de l'unité.

  • Calculer, appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes. Le calcul est une compétence essentielle en mathématiques. Bien que le calcul soit abordé dès la seconde et travaillée tout au long du lycée, il reste encore une réelle difficulté pour de nombreux élèves en terminale. Il est important de terminer le lycée en étant rapide, efficace et fiable dans ses calculs. Certains chapitres de maths expertes commes les complexes ou le calcul matriciel nécessiteront une certaine rapidité et dextérité en calculs.

  • Communiquer un résultat par oral ou par écrit, expliquer une démarche. La rédaction prend une place de plus en plus importante dans le programme de maths de terminale et en particulier dans l'option maths expertes. Les élèves se préparent au supérieur et il est important que les élèves soient rigoureux dans leur démonstrations, comprennent intimement les types de raisonnements et apprennent à être précis dans leurs copies. Ainsi le programme de maths expertes laisse une place importante aux raisonnements logiques qu'il sera utile de maîtriser pour le supérieur.

Programme maths expertes

IV- Les nouveautés du programme de maths expertes en terminale :

Depuis la réforme du lycée, le programme de l'option maths expertes a été renforcé pour permettre aux élèves qui choisissent cette option d'aller plus loin et de préparer le supérieur. Ainsi, le programme sur les complexes est largement approfondi. On traite de notions anciennement abordées lors de la rentrée en prépa scientifiques comme les racines n-ièmes de l'unité ou encore l'étude des polynômes.

De même, la partie sur les matrices et notamment sur les graphes et les chaînes de Markov a été approfondie pour permettre aux élèves de traiter des problèmes plus complexes et de modéliser certaines situation de manière plus efficaces.

V- Conclusion maths expertes une option plébiscitée pour le supérieur

En conclusion, l’option Mathématiques Expertes offre aux élèves une occasion unique d’approfondir leurs connaissances en mathématiques et de se préparer efficacement aux études supérieures.

Les thèmes abordés dans cette option, tels que les nombres complexes, l’arithmétique, les graphes et les matrices, ouvrent de nouvelles perspectives et permettent aux élèves de se démarquer dans le domaine des mathématiques. Pour ceux qui aspirent à suivre des formations préparatoires scientifiques ou commerciales, le choix de cette option est fortement conseillé. En optant pour l’option Mathématiques Expertes, les élèves se dotent d’un bagage solide et approfondi, qui leur sera bénéfique dans leurs études futures.

Pour en savoir plus sur le programme de la spécialité maths : consultez notre analyse détaillée du programme de la spécialité maths.

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